Không gian Metric và Topo đại cương

1. Định nghĩa Metric và không gian Metric

Cho $X\neq \varnothing $, d là ánh xạ từ:  $X^{2}\rightarrow R$
                                         $ \left ( x,y \right )\in X^{2}\rightarrow d\left ( x,y \right )\in R$
thỏa mãn 3 tiên đề sau :
   1/ $d\left ( x,y \right )\geq 0$ với mọi $x,y\in X$
        $d\left ( x,y \right )=0\Leftrightarrow x=y$
   2/ $d\left ( x,y \right )=d\left ( y,x \right )$ với mọi $x,y\in X$
   3/  $d\left ( x,y \right )\leq d\left ( x,z \right )+d\left (z,y  \right )$ với mọi  $x,y,z\in X$
 ánh xạ d được gọi là Metric trên X.
Một tập X được trang bị một Metric thì gọi là Không gian Metric $M=\left ( X,d \right )$, với $d\left ( x,y \right )$ được gọi là khoảng cách từ điểm x đến điểm y. Phần tử trong không gian Metric gọi là các điểm.

2. Một số tính chất đơn giản.

  Tính chất 1: Giả sử $\left ( X,d \right )$ là không gian Metric, $x_{1},x_{2},…,x_{n}\in X$ khi đó :
    $d\left ( x_{1},x_{n} \right )\leq d\left ( x_{1} ,x_{2}\right )+d\left ( x_{2},x_{3} \right )+…+d\left ( x_{n-1},x_{n} \right )$
  Tính chất 2: Với bốn điểm $x,y,u,v\in X$ khi đó :
        $ \left | d\left ( \left ( x,y \right ) \right ) -d\left ( u,v \right )\right |\leq d\left ( x,u \right )+d\left ( y,v \right )$
  Tính chất 3: Giả sử $x,y,u\in X$ khi đó:
       $ \left | d\left ( x,u \right )-d\left ( y,u \right ) \right |\leq d\left ( x,y \right )$

3. Một số ví dụ chứng minh Không gian Metric.

 Ví dụ 1: Cho $X=R$, với mọi $x,y\in R, d\left ( x,y \right )=\left | x-y \right |$. Kiểm tra xem $\left( X,d \right)$ là một không gian Metric.
 Bài giải :
 Ta đi kiểm tra 3 tiên đề
  1, Ta có $d\left ( x,y \right )= \left |x-y  \right |\geq 0$
       Giả sử $d\left ( x,y \right )=0 \Leftrightarrow \left |x-y  \right |= 0\Leftrightarrow x=y$
                      $ \Rightarrow d\left ( x,y \right )\Leftrightarrow x=y$
  2, Với mọi $x,y\in R, d\left ( x,y \right )=\left | x-y \right |=\left | \left ( -1 \right )\left ( y-x \right ) \right |=\left | \left ( -1 \right ) \right |\left | y-x \right |=d\left ( y,x \right )$
                       $\Rightarrow  d\left ( x,y \right )=d\left ( y,x \right )$
  3, Với mọi  $x,y,z\in R$ , ta có :
       $d\left ( x,y \right )=\left | x-y \right |=\left | x-z+z-y \right |\leq \left | x-z \right |+\left | z-y \right |=d\left ( x,z \right )+d\left ( z,y \right )$
                       $\Rightarrow d\left ( x,y \right )\leq d\left (x,z\right )+d\left ( z,y \right )$
 Vậy $\left ( R,d \right )$ là một không gian Metric.
Một số ví dụ tương tự ví dụ 1 
 Ví dụ 2: Cho $X=R^{n}$, với mọi  $x\in X, x=\left ( x_{1},x_{2},…,x_{n} \right )$
                                                            $y\in Y, y= \left ( y_{1},y_{2},…,y_{n} \right )$
               Đặt $d\left ( x,y \right )=\left ( \sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-y_{j} \right )^{2} \right )^{\frac{1}{2}}$
          Chứng minh rằng: $\left ( X,d \right )$ là một không gian Metric.
Ví dụ 3: Cho $X\neq \varnothing $, ta định nghĩa: $d\left ( x,y \right )=\left\{\begin{matrix}
 1, x\neq y& \\0,x=y&
\end{matrix}\right.$
              Chứng minh rằng: $\left ( X,d \right )$ là một không gian Metric

Nguyên tắc viết ký hiệu toán học mà ai cũng phải biết

Nhiều bạn tưởng rằng ký hiệu $x$ là giống $\mathbf{x}$. Nhưng không phải, x không in đậm là chỉ biến còn x in đậm là ký hiệu của vector. Nó khác nhau một trời một vực đấy nhé!

Trong các bài viết của tôi, các số vô hướng được biểu diễn bởi các chữ cái viết ở dạng không in đậm, có thể viết hoa, ví dụ $x_1, N, y, k$. Các vector được biểu diễn bằng các chữ cái thường in đậm, ví dụ $\mathbf{y}, \mathbf{x}_1 $. Nếu không giải thích gì thêm, các vector được mặc định hiểu là các vector cột. Các ma trận được biểu diễn bởi các chữ viết hoa in đậm, ví dụ $\mathbf{X, Y, W} $.

Đối với vector, $\mathbf{x} = [x_1, x_2, \dots, x_n]$ được hiểu là một vector hàng. Trong khi $\mathbf{x} = [x_1; x_2; \dots; x_n] $ được hiểu là vector cột. Chú ý sự khác nhau giữa dầu phẩy (,) và dấu chấm phẩy (;). Đây chính là ký hiệu mà được Matlab sử dụng.

Tương tự, trong ma trận, $\mathbf{X} = [\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \dots, \mathbf{x}_n]$ được hiểu là các vector $\mathbf{x}_j$ được đặt cạnh nhau theo thứ tự từ trái qua phải để tạo ra ma trận $\mathbf{X}$. Trong khi $\mathbf{X} = [\mathbf{x}_1; \mathbf{x}_2; \dots; \mathbf{x}_m]$ được hiểu là các vector $\mathbf{x}_i$ được đặt chồng lên nhau theo thứ tự từ trên xuống dưới dể tạo ra ma trận $\mathbf{X}$. Các vector được ngầm hiểu là có kích thước phù hợp để có thể xếp cạnh hoặc xếp chồng lên nhau.

Cho một ma trận $\mathbf{W}$, nếu không giải thích gì thêm, chúng ta hiểu rằng $\mathbf{w}_i$ là vector cột thứ $i$ của ma trận đó. Chú ý sự tương ứng giữa ký tự viết hoa và viết thường.

Mình đã muốn viết bài này từ lâu rồi những đến giờ mới hoàn thành được. Mình mong các bạn có thể phân biết được các ký hiệu toán học, chứ không thì cứ nhầm tùm lum giữa các ký hiệu, dẫn đến hiểu sai lệch.