Không gian Metric và Topo đại cương

1. Định nghĩa Metric và không gian Metric

Cho $X\neq \varnothing $, d là ánh xạ từ:  $X^{2}\rightarrow R$
                                         $ \left ( x,y \right )\in X^{2}\rightarrow d\left ( x,y \right )\in R$
thỏa mãn 3 tiên đề sau :
   1/ $d\left ( x,y \right )\geq 0$ với mọi $x,y\in X$
        $d\left ( x,y \right )=0\Leftrightarrow x=y$
   2/ $d\left ( x,y \right )=d\left ( y,x \right )$ với mọi $x,y\in X$
   3/  $d\left ( x,y \right )\leq d\left ( x,z \right )+d\left (z,y  \right )$ với mọi  $x,y,z\in X$
 ánh xạ d được gọi là Metric trên X.
Một tập X được trang bị một Metric thì gọi là Không gian Metric $M=\left ( X,d \right )$, với $d\left ( x,y \right )$ được gọi là khoảng cách từ điểm x đến điểm y. Phần tử trong không gian Metric gọi là các điểm.

2. Một số tính chất đơn giản.

  Tính chất 1: Giả sử $\left ( X,d \right )$ là không gian Metric, $x_{1},x_{2},…,x_{n}\in X$ khi đó :
    $d\left ( x_{1},x_{n} \right )\leq d\left ( x_{1} ,x_{2}\right )+d\left ( x_{2},x_{3} \right )+…+d\left ( x_{n-1},x_{n} \right )$
  Tính chất 2: Với bốn điểm $x,y,u,v\in X$ khi đó :
        $ \left | d\left ( \left ( x,y \right ) \right ) -d\left ( u,v \right )\right |\leq d\left ( x,u \right )+d\left ( y,v \right )$
  Tính chất 3: Giả sử $x,y,u\in X$ khi đó:
       $ \left | d\left ( x,u \right )-d\left ( y,u \right ) \right |\leq d\left ( x,y \right )$

3. Một số ví dụ chứng minh Không gian Metric.

 Ví dụ 1: Cho $X=R$, với mọi $x,y\in R, d\left ( x,y \right )=\left | x-y \right |$. Kiểm tra xem $\left( X,d \right)$ là một không gian Metric.
 Bài giải :
 Ta đi kiểm tra 3 tiên đề
  1, Ta có $d\left ( x,y \right )= \left |x-y  \right |\geq 0$
       Giả sử $d\left ( x,y \right )=0 \Leftrightarrow \left |x-y  \right |= 0\Leftrightarrow x=y$
                      $ \Rightarrow d\left ( x,y \right )\Leftrightarrow x=y$
  2, Với mọi $x,y\in R, d\left ( x,y \right )=\left | x-y \right |=\left | \left ( -1 \right )\left ( y-x \right ) \right |=\left | \left ( -1 \right ) \right |\left | y-x \right |=d\left ( y,x \right )$
                       $\Rightarrow  d\left ( x,y \right )=d\left ( y,x \right )$
  3, Với mọi  $x,y,z\in R$ , ta có :
       $d\left ( x,y \right )=\left | x-y \right |=\left | x-z+z-y \right |\leq \left | x-z \right |+\left | z-y \right |=d\left ( x,z \right )+d\left ( z,y \right )$
                       $\Rightarrow d\left ( x,y \right )\leq d\left (x,z\right )+d\left ( z,y \right )$
 Vậy $\left ( R,d \right )$ là một không gian Metric.
Một số ví dụ tương tự ví dụ 1 
 Ví dụ 2: Cho $X=R^{n}$, với mọi  $x\in X, x=\left ( x_{1},x_{2},…,x_{n} \right )$
                                                            $y\in Y, y= \left ( y_{1},y_{2},…,y_{n} \right )$
               Đặt $d\left ( x,y \right )=\left ( \sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-y_{j} \right )^{2} \right )^{\frac{1}{2}}$
          Chứng minh rằng: $\left ( X,d \right )$ là một không gian Metric.
Ví dụ 3: Cho $X\neq \varnothing $, ta định nghĩa: $d\left ( x,y \right )=\left\{\begin{matrix}
 1, x\neq y& \\0,x=y&
\end{matrix}\right.$
              Chứng minh rằng: $\left ( X,d \right )$ là một không gian Metric

Khuyên dùng

 

About Aida Nana

Nghề chính là chém gió, quăng bom và ném lựu đạn.
Nghề phụ là cắt cỏ, chém chuối, cưa cây......

Speak Your Mind

*